前項「アルゴリズの取り出し」では「じゃんけん判定」の問題を扱いました。そこでは、まず、Aさん、Bさんの手（0、1、2のいずれか1つ）を、それぞれ変数XA、XBが保有するとしたとき、次が成り立つことを述べました。

　　　　　　　　　　　　　（Aさんの結果）
（ⅰ）XA＝XB　　　　　　⇒　　相子
（ⅱ）(XA+1)mod(3)=XB　　⇒　　勝ち
（ⅲ）(XA+2)mod(3)=XB　　⇒　　負け

これに対して、つぎのような一般に知られた判定法も紹介しました。

　　　　　　　　　　　　　（Aさんの結果）
（Ⅰ）(XA-XB+3)mod(3)=0　⇒　　相子
（Ⅱ）(XA-XB+3)mod(3)=1　⇒　　負け
（Ⅲ）(XA-XB+3)mod(3)=2　⇒　　勝ち

そして、これら２つの方法は同等であり、それはmodの加減乗算の定理を用いて証明できますと述べました。

直前の投稿「modについて」で、modの加算、減算、乗算について紹介しましたので、これらを用いて上のことを証明しましょう。

（ⅰ）は（Ⅰ）と同等

　XA=XB
∴XA mod(3)=XB mod(3)
∴XA mod(3)+3mod(3)=XB mod(3)　　←3mod(3)は0だから
∴(XA+3)mod(3)=XB mod(3)　　←modの加算を使用
∴(XA+3)mod(3)-XB mod(3)=0
∴(XA-XB+3)mod(3)=0　　　　←modの加減算を使用
（ⅰ）の式から（Ⅰ）の式を導くことができました。

（ⅱ）は（Ⅲ）と同等

 　(XA+1)mod(3)=XB
∴XA mod(3)+1mod(3)=XB　　　←modの加算を使用
∴XA mod(3)=XB-1mod(3)
∴XA mod(3)-XB=-1mod(3)
∴XA mod(3)-XB mod(3)=-1mod(3)　←XB=XB mod(3)
∴(XA-XB)mod(3)=-1mod(3)　　　←modの減算を使用
∴(XA-XB)mod(3)+3mod(3)=3mod(3)-1mod(3)　←3mod(3)=0
∴(XA-XB+3)mod(3)=(3-1)mod(3)　←　modの加算、減算を使用
∴(XA-XB+3)mod(3)=2
（ⅱ）の式から（Ⅲ）の式を導くことができました。

（ⅲ）は（Ⅱ）と同等

　(XA+2)mod(3)=XB
∴(XA+2)mod(3)+1mod(3)=XB+1　←左辺には1mod(3)を右辺には1を加算
（ここに1mod(3) =1）
∴(XA+2)mod(3)+1mod(3)-XB=1
∴(XA+2)mod(3)+1mod(3)-XB mod(3)=1 　←XB=XB mod(3)だから
∴(XA+2+1-XB)mod(3)=1　　　　←modの加算、減算を使用
∴(XA-XB+3)mod(3)=1
（ⅲ）の式から（Ⅱ）の式を導くことができました。

こうして、２つの判定法は同等であることが証明されました。